Question

15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足（2b-c）cosA-acosC=0．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若a=4，求△ABC周长的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用正弦定理化简已知的等式，再利用两角和的正弦函数公式及诱导公式化简，根据sinB不为0，得到cosA的值，由A的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数．
（Ⅱ）利用余弦定理，基本不等式，三角形两边之和大于第三边即可得解△ABC周长的取值范围．

解答 （本题满分为12分）
解：（Ⅰ）将（2b-c）cosA=acosC代入正弦定理得：
（2sinB-sinC）cosA=sinAcosC，
即2sinBcosA=sinCcosA+cosCsinA=sin（A+C）=sinB，
由B∈（0，180°），得到sinB≠0，
所以cosA=$\frac{1}{2}$，又A∈（0，180°），
则A的度数为60°…6分
（Ⅱ）由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，可得：b²+c²-bc=（b+c）²-3bc=16，…7分
bc≤（$\frac{a+b}{2}$）²，当且仅当b=c=4时等号成立，…8分
∴16=（b+c）²-3bc≥=（b+c）²-3（$\frac{a+b}{2}$）²=$\frac{1}{4}$（b+c）²，
∴b+c≤8，…10分
∵b+c＞4，…11分
∴△ABC的周长取值范围为：（8，12]…12分

点评 本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，诱导公式，特殊角的三角函数值，余弦定理，基本不等式，三角形两边之和大于第三边等知识在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题．