Question

如图，正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直，M是CE和AD的交点，AC⊥BC，且AC=BC．
（1）求证：AM⊥平面EBC；
（2）当AC=2时，求三棱锥V _E-ABM的值．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定,棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：证明题,空间位置关系与距离

分析：（1）先证AM⊥EC，又平面ACDE⊥平面ABC，BC⊥AC，可证BC⊥平面EAC，得BC⊥AM，即可证明AM⊥平面EBC；
（2）由AC=2，由棱锥体积公式V锥=

1

3

Sh，即可求_VE-ABM=V_B-AEM的值．

解答： 解：（1）证明：∵四边形ACDE是正方形，
∴AM⊥EC； 
又∵平面ACDE⊥平面ABC，BC⊥AC，
∴BC⊥平面EAC；     
∵AM?平面EAC，
∴BC⊥AM；
又EC∩BC=C，
∴AM⊥平面EBC；   

（2）解：∵AC=2，
∴由（1）可得S_△AME=

1

2

EM×AM=

1

2

×

2

×

2

=1，
又∵由（1）可得BC⊥平面EAM，
∴由棱锥体积公式V锥=

1

3

Sh得V_E-ABM=V_B-AEM=

1

3

S_△AME×BC=

1

3

×1×2=

2

3

．

点评：本题主要考查了直线与平面垂直的判定与性质，考查了棱柱、棱锥、棱台的体积的求法，属于中档题．