Question

16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，A=60°，a=3．
（1）若b=2，求cosB；
（2）求△ABC的面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）由已知利用正弦定理可求sinB的值，利用大边对大角可求B为锐角，利用同角三角函数基本关系式即可求得cosB的值．
（2）由已知及余弦定理，基本不等式可求bc≤9，利用三角形面积公式可求△ABC的面积的最大值．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）∵$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$，∴$sinB=\frac{bsinA}{a}$=$\frac{2×\frac{\sqrt{3}}{2}}{3}$，可得，$sinB=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$…（3分）
又∵a＞b，
∴A＞B，可得B为锐角，
∴$cosB=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．…（6分）
（2）${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}bcsinA=\frac{{\sqrt{3}}}{4}bc$，
∵$cosA=\frac{{{b^2}+{c^2}-{a^2}}}{2bc}$，
∴bc=b²+c²-9≥2bc-9，…（9分）
∴得bc≤9，当且仅当b=c时等号成立，
∴故S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA≤$\frac{1}{2}×$9×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{{9\sqrt{3}}}{4}$，即△ABC的面积的最大值为$\frac{{9\sqrt{3}}}{4}$．…（12分）

点评 本题主要考查了正弦定理，大边对大角，同角三角函数基本关系式，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．