Question

已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率e=

3

2

．直线l：x-2y+2=0与椭圆C相交于E、F两点，且|EF|=

5

．
（1）求椭圆C的方程；
（2）点P（-2，0），A、B为椭圆C上的动点，当PA⊥PB时，求证：直线AB恒过一个定点．并求出该定点的坐标．

Answer 1

分析：（1）设出椭圆方程，E，F的坐标，根据离心率设a=2t，c=

3

t，则b可求得，把直线方程与椭圆方程联立根据判别式求得t的范围．根据线段EF的距离求得t，则椭圆方程可得．
（2）当直线l不垂直于x轴时，设AB：y=kx+mA（x₁，y₁）B（x₂，y₂），与椭圆方程联立，根据

PA

•

PB

=0求得m，分别代入直线方程即可求得直线恒过的点．进而再看当直线l垂直于x轴时，可求得A，B的坐标，代入

PA

•

PB

=0符合题意．综合答案可得．

解答：解：（1）设椭圆方程为

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0），E（x₁，y₁）F（x₂，y₂）e=

c

a

=

3

2

令a=2t，c=

3

t则b=t
∴

x2

4t2

+

y2

t2

=1
由

x2+4y2=4t2 x-2y+2=0

得：2y²-2y+1-t²=0
△=4-4×2（1-t²）＞0∴t2＞

1

2

，|EF|=

1+ 1 k2

|y1-y2|=

1+4

1-4× 1-t2 2

=

5

∴t²=1
椭圆C的方程是：

x2

4

+y2=1
（2）当直线l不垂直于x轴时，设AB：y=kx+mA（x₁，y₁）B（x₂，y₂）

x2+4y2=4t2 y=kx+m

得（1+4k²）x²+8kmx+4（m²-1）=0

PA

•

PB

=(x^+2)(x2+2)+y1y2=(1+k2)x1x2+(2+km)(x1+x2)+m2+4=(1+k2)

4(m2-1)

1+4k2

+(2+km)

-8km

1+4k2

+m2+4=0
∴12k²+5m²-16km=0（6k-5m）（2k-m）=0
∴m=

6

5

k或m=2k
当m=

6

5

k时，AB：y=kx+

6

5

k恒过定点(-

6

5

，0)
当m=2k时，AB：y=kx+2k恒过定点（-2，0），不符合题意舍去
当直线l垂直于x轴时，若直线AB：x=-

6

5

则AB与椭圆C相交于A(-

6

5

，-

4

5

)，B(-

6

5

，

4

5

)
∴

PA

•

PB

=(

4

5

，-

4

5

)•(

4

5

，

4

5

)=(

4

5

)2+(-

4

5

)(

4

5

)=0
∵PA⊥PB，满足题意
综上可知，直线AB恒过定点，且定点坐标为(-

6

5

，0)

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．注意讨论直线斜率存在和不存在两种情况．