Question

17．已知函数f（x）=$\frac{lnx+m}{{e}^{x}}$（m为常数，e是自然对数的底数），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行．
（1）求m的值；
（2）求函数y=f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导函数，函数在点（1，f（1））处的切线与x轴平行，说明f′（1）=0，则m值可求；
（2）求出函数的定义域，然后让导函数等于0求出极值点，借助于导函数在各区间内的符号求函数f（x）的单调区间．

解答 解：（1）因为函数f（x）=$\frac{lnx+m}{{e}^{x}}$，
所以f′（x）=$\frac{\frac{1}{x}-lnx-m}{{e}^{x}}$，
因为曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行，
所以f′（1）=0，即 $\frac{1-ln1-m}{e}$=0，解得m=1；
（2）函数f（x）的定义域为（0，+∞），
由f′（x）=$\frac{\frac{1}{x}-lnx-1}{{e}^{x}}$，
令g（x）=$\frac{1}{x}$-lnx-1，此函数只有一个零点1，
且当x＞1时，g（x）＜0，当0＜x＜1时，g（x）＞0，
所以当x＞1时，f′（x）＜0，所以原函数在（1，+∞）上为减函数；
当0＜x＜1时，f′（x）＞0，所以原函数在（0，1）上为增函数．
故函数f（x）的增区间为（0，1），减区间为（1，+∞）．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性，考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会利用导数研究函数的单调区间．