【题目】已知集合,
,
.
(1)命题p:“,都有
”,若命题p为真命题,求a的值;
(2)若“”是“
”的必要条件,求m的取值范围.
【答案】(1)2或3 (2)或
【解析】
(1)先求出集合A,若p为真命题,则有,方程
的根有两种可能,两根相同,两根不同,由此可得a的值;(2)由题知“
”能推出“
”,从而
,集合A已知,则集合C有以下可能:
,
,或C中只含有一个元素,由此可得m的范围.
解:(1)由题意得,∵命题p为真命题,
∴.
又∵,
由,可知B有两种可能,
①若,则
,解得
;
②若,则
,解得
.
因此a的值为2或3.
(2)∵“”是“
”的必要条件,
∴“”能推出“
”,从而
,
因此集合C有四种可能:
①,此时
解得
;
②,此时
此时方程组无实数解,m的值不存在;
③,
此时方程组无实数解,m的值不存在;
④,此时
,解得
.
综上可知,m的取值范围为或
.
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【题目】已知椭圆:
的离心率为
,椭圆的一个顶点与两个焦点构成的三角形面积为2.
(1)求椭圆的方程;
(2)已知直线与椭圆
交于
两点,且与
轴,
轴交于
两点.
(i)若,求
的值;
(ii)若点的坐标为
,求证:
为定值.
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【题目】如图,在直角梯形中,
,
,
,
,
,点
在
上,且
,将
沿
折起,使得平面
平面
(如图),
为
中点.
(1)求证: 平面
;
(2)在线段上是否存在点
,使得
平面
?若存在,求
的值,并加以证明;若不存在,请说明理由.
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【题目】提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况,在一般情况下,大桥上的车流速度v(单位:千米/小时)是车流密度x(单位:辆/千米)的函数,当桥上的车流密度达到200辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为0;当车流密度不超过20辆/千米时,车流速度为60千米/小时,研究表明:当20≤x≤200时,车流速度v是车流密度x的一次函数.
(1)当0≤x≤200时,求函数v(x)的表达式;
(2)当车流密度x为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/小时)f(x)=xv(x)可以达到最大,并求出最大值.(精确到1辆/小时).
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【题目】某省每年损失耕地20万亩,每亩耕地价值24000元,为了减小耕地损失,决定按耕地价格的t%征收耕地占用税,这样每年的耕地损失可减少t万亩,为了既减少耕地的损失又保证此项税收一年不少于9000万元,t变动的范围是________.
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【题目】已知函数.
(1)当时,求函数
在
上的最大值;
(2)令,若
在区间
上为单调递增函数,求
的取值范围;
(3)当 时,函数
的图象与
轴交于两点
,且
,又
是
的导函数.若正常数
满足条件
.证明:
.
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【题目】已知幂函数在
上是增函数,且在定义域上是偶函数.
(1)求p的值,并写出相应的函数的解析式.
(2)对于(1)中求得的函数,设函数
,问是否存在实数
,使得
在区间
上是减函数,且在区间
上是增函数?若存在,请求出q;若不存在,请说明理由.
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