Question

【题目】已知为坐标原点,椭圆的左、右焦点分别为上顶点为,右顶点为,以为直径的圆过点,直线与圆相交得到的弦长为

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若直线与椭圆相交于两点， 与轴， 轴分别相交于两点，满足：①记的中点为,且两点到直线的距离相等；②记的面积分别为若当取得最大值时,求的值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】试题分析：（Ⅰ）由以为直径的圆过点，知，从而求出， ，由此能求出椭圆的方程；（Ⅱ）设直线的方程为，则．由方程组，得，由此利用根的判别式、韦达定理、中点坐标公式、弦长公式，结合已知条件能求出的值.

试题解析：（Ⅰ）因为以为直径的圆过点,所以则圆的方程为

直线的方程为，则 ， ,所以,所以椭圆的方程为

（Ⅱ）由题意，设直线的方程为则

由方程组得

所以

由韦达定理得

因为两点到直线的距离相等，所以线段的中点与线段的中点重合，

所以解得

于是，

由及可得

所以，当时， 有最大值

此时故