Question

【题目】已知椭圆： 的左顶点为，右焦点为， 为原点， ， 是轴上的两个动点，且，直线和分别与椭圆交于， 两点．

　

（Ⅰ）求的面积的最小值；

（Ⅱ）证明： ， ， 三点共线.

Answer 1

【答案】（1）1；（2）详见解析。

【解析】试题分析：（Ⅰ）设， ，然后根据求得的值，从而得到的表达式，从而利用基本不等式求出最小值，；（Ⅱ）首先设出直线的方程，然后联立椭圆方程，利用韦达定理得到点坐标间的关系，从而使问题得证．

试题解析：（Ⅰ）设， ，∵，可得，

，

∵，当且仅当时等号成立．

∴，

∴，

∴四边形的面积的最小值为1．

（Ⅱ）∵， ，∴直线的方程为，

由得，

由，得，①

同理可得，

∵，∵ ②

故由①②可知： ，

代入椭圆方程可得

∵，故， 分别在轴两侧， ，

∴，∴， ， 三点共线．

点睛:解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法．