【题目】在四棱锥中,底面
为平行四边形,
,
,
,
.
(Ⅰ)证明: 平面
;
(Ⅱ)求二面角的余弦值.
【答案】(1)详见解析;(2)
【解析】试题分析:(Ⅰ)首先利用正弦定理求得,由此可推出
,然后利用勾股定理推出
,从而使问题得证;(Ⅱ)以点
为坐标原点建立空间直角坐标系,然后求出相关点的坐标与向量,从而求得平面
与平面
的法向量,进而利用空间夹角公式求解.
试题解析:(Ⅰ)证明:在中,
,由已知
,
,
,
解得,所以
,即
,可求得
.
在中,
∵,
,
,
∴,∴
,
∵平面
,
,∴
平面
.
(Ⅱ)过作直线
垂直于
,以
为坐标原点,以
为
轴,以
为
轴,以
为
轴,建立空间直角坐标系.
∵由(Ⅰ)可知,平面平面
,∴
在平面
上的投影一定在
上,过
作
于
,则
,
,则
,
易求,
,
,
则,
,
,
设平面的法向量
,
解得
.
同理可求得平面的法向量
,
∴.
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【题目】某中学为了了解全校学生的阅读情况,在全校采用随机抽样的方法抽取了60名学生(其中初中组和高中组各30名)进行问卷调查,并将他们在一个月内去图书馆的次数进行了统计,将每组学生去图书馆的次数分为5组: ,分别制作了如图所示的频率分布表和频率分布直方图.
分组 | 人数 | 频率 |
3 | ||
9 | ||
9 | ||
0.2 | ||
0.1 |
(1)完成频率分布表,并求出频率分布直方图中的值;
(2)在抽取的60名学生中,从在一个月内去图书馆的次数不少于16次的学生中随机抽取3人,并用 表示抽得的高中组的人数,求
的分布列和数学期望.
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【题目】某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示,其中成绩分组区间是:[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].
(1)求图中a的值;
(2)根据频率分布直方图,估计这100名学生语文成绩的平均分;
(3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x)与数学成绩相应分数段的人数(y)之比如表所示,求数学成绩在[50,90)之外的人数.
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【题目】祖暅是南北朝时代的伟大科学家,5世纪末提出体积计算原理,即祖暅原理:“幂势既同,则积不容异”.意思是:夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任何一个平面所截,如果截面面积都相等,那么这两个几何体的体积一定相等.现有以下四个几何体:图①是从圆柱中挖出一个圆锥所得的几何体;图②、图③、图④分别是圆锥、圆台和半球,则满足祖暅原理的两个几何体为( )
A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ①④
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【题目】已知椭圆:
的左顶点为
,右焦点为
,
为原点,
,
是
轴上的两个动点,且
,直线
和
分别与椭圆
交于
,
两点.
(Ⅰ)求的面积的最小值;
(Ⅱ)证明: ,
,
三点共线.
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【题目】“杨辉三角”又称“贾宪三角”,是因为贾宪约在公元1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算,而杨辉在公元1261年所著的《详解九章算法》一书中,记录了贾宪三角形数表,并称之为“开方作法本源”图.下列数表的构造思路就源于“杨辉三角”.该表由若干行数字组成,从第二行起,每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和,表中最后一行仅有一个数,则这个数是( )
A. B.
C.
D.
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【题目】2017年5月13日第30届大连国际马拉松赛举行,某单位的10名跑友报名参加了半程马拉松、10公里健身跑、迷你马拉松3个项目(每人只报一项),报名情况如下:
项目 | 半程马拉松 | 10公里健身跑 | 迷你马拉松 |
人数 | 2 | 3 | 5 |
(其中:半程马拉松公里,迷你马拉松
公里)
(1)从10人中选出2人,求选出的两人赛程距离之差大于10公里的概率;
(2)从10人中选出2人,设为选出的两人赛程距离之和,求随机变量
的分布列.
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【题目】如图,在三棱柱中,底面△ABC是等边三角形,侧面
为正方形,且
平面ABC,
为线段
上的一点.
(Ⅰ) 若∥平面A1CD,确定D的位置,并说明理由;
(Ⅱ) 在(Ⅰ)的条件下,求二面角的余弦值.
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