Question

【题目】在如图所示的几何体中，平面平面，四边形是菱形，四边形是矩形，，，，是的中点．

(Ⅰ)求证：平面；

(II)在线段上是否存在点，使二面角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】(Ⅰ)连结BD，因为四边形是菱形，，是的中点，

所以， …………2分

因为四边形是矩形，平面平面且交线为，

所以平面，又平面，所以，……………4分

又，所以平面．……………………6分

(Ⅱ)由，可得，

因为四边形是矩形，平面平面且交线为，，

所以平面，以为原点，为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，

设，则，，

因为平面，平面的一个法向量为，……8分

设平面的法向量为，，即，

取，可得，……10分

假设在线段上存在点，使二面角的大小为，

则，

所以点在线段上，符合题意的点存在，此时． …………12分

【命题意图】本题考查平面和平面垂直的性质定理、直线和平面垂直的判定定理、二面角等基础知识，意在考查空间想象能力和运算求解能力．