【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,曲线
的参数方程为
(
为参数),在以原点为极点,
轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线
的极坐标方程为
.
(1)求的普通方程和
的倾斜角;
(2)设点,
和
交于
两点,求
.
【答案】(1) ;(2)
.
【解析】试题分析:(1)曲线C的参数方程为(α为参数),利用平方关系可得曲线C的普通方程.由直线l的极坐标方程为
,展开化为:ρsinθ+ρcosθ=2,利用互化公式可得:直线l的普通方程,利用斜率与倾斜角的关系即可得出.
(2)显然点在直线l
上.在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程是
为参数).将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程,得到关于t的一元二次方程,此方程的两根为直线l与曲线C的交点A,B对应的参数tA,tB,利用|PA|+|PB|=|tA|+|tB|即可得出.
试题解析:
(Ⅰ)由消去参数α,得
,
即C的普通方程为.
由,得ρsinθ+ρcosθ=2,…(*)
将代入(*),化简得
,
所以直线l的倾斜角为.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,点P(0,2)在直线l上,可设直线l的参数方程为为参数),即
为参数),代入
并化简,得
.
.
设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,
则,所以t1<0,t2<0,
所以=
.
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【题目】如图所示,正三角形ABC所在平面与梯形BCDE所在平面垂直,,
=4 ,
,F为棱AE的中点.
(1)求证:平面平面
;
(2)若直线与平面
所成角为
,求二面角
的余弦值.
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【题目】某同学在研究函数f(x)= ﹣1(x∈R)时,得出了下面4个结论:①等式f(﹣x)=f(x)在x∈R时恒成立;②函数f(x)在x∈R上的值域为(﹣1,1];③曲线y=f(x)与g(x)=2x﹣2仅有一个公共点;④若f(x)=
﹣1在区间[a,b](a,b为整数)上的值域是[0,1],则满足条件的整数数对(a,b)共有5对.其中正确结论的序号有(请将你认为正确的结论的序号都填上).
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【题目】己知函数f(x)=loga(3x+1),g(x)=loga(1﹣3x),(a>0且a≠1).
(1)求函数F(x)=f(x)﹣g(x)的定义域;
(2)判断F(x)=f(x)﹣g(x)的奇偶性,并说明理由4;
(3)确定x为何值时,有f(x)﹣g(x)>0.
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【题目】已知定圆,动圆
过点
且与圆
相切,记圆心
的轨迹为
.
(I)求轨迹的方程;
(Ⅱ)若与轴不重合的直线
过点
,且与轨迹
交于
两点,问:在
轴上是否存在定点
,使得
为定值?若存在,试求出点
的坐标和定值;若不存在,请说明理由.
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【题目】在如图所示的几何体中,平面平面
,四边形
是菱形,四边形
是矩形,
,
,
,
是
的中点.
(Ⅰ)求证:平面
;
(II)在线段上是否存在点
,使二面角
的大小为
?若存在,求出
的长;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知△ABC的两顶点坐标A(﹣1,0),B(1,0),圆E是△ABC的内切圆,在边AC,BC,AB上的切点分别为P,Q,R,|CP|=1(从圆外一点到圆的两条切线段长相等),动点C的轨迹为曲线M.
(I)求曲线M的方程;
(Ⅱ)设直线BC与曲线M的另一交点为D,当点A在以线段CD为直径的圆上时,求直线BC的方程.
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【题目】等比数列{an}中,已知a1=2,a4=16.
(1)求数列{an}的通项公式an;
(2)若a3 , a5分别是等差数列{bn}的第4项和第16项,求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn .
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