Question

【题目】己知函数f（x）=loga（3x+1），g（x）=loga（1﹣3x），（a＞0且a≠1）．
（1）求函数F（x）=f（x）﹣g（x）的定义域；
（2）判断F（x）=f（x）﹣g（x）的奇偶性，并说明理由4；
（3）确定x为何值时，有f（x）﹣g（x）＞0．

Answer 1

【答案】
（1）

解：F（x）=f（x）﹣g（x）=loga（3x+1）﹣loga（1﹣3x），

∴ ，解得 ．

∴F（x）=f（x）﹣g（x）的定义域是（﹣ ， ）

（2）

解：由（1）知F（x）定义域关于原点对称，

∵F（x）=loga（3x+1）﹣loga（1﹣3x），

F（﹣x）=loga（﹣3x+1）﹣loga（1+3x）=﹣F（x）．

∴F（x）=f（x）﹣g（x）是奇函数

（3）

解：∵f（x）﹣g（x）＞0，

∴f（x）＞g（x），

即 loga（3x+1）＞loga（1﹣3x），

① 当a＞1时， ，解得 0＜x＜ ．

②当0＜a＜1时， ，解得﹣ ．

综上所述：当a＞1时，f（x）﹣g（x）＞0的解是0＜x＜ ．

当0＜a＜1时，f（x）﹣g（x）＞0的解是﹣

【解析】（1）由真数大于零即可列出方程组 ，解出即可；（2）由F（﹣x）=loga（﹣3x+1）﹣loga（1+3x）=﹣F（x），再结合定义域即能得出答案．（3）不等式f（x）﹣g（x）＞0转化为loga（3x+1）＞loga（1﹣3x），然后分当a＞1时和0＜a＜1两种情况进行讨论，利用对数函数的单调性列出方程组即得答案．
【考点精析】掌握对数函数的定义域是解答本题的根本，需要知道对数函数的定义域范围:（0，+∞）．