Question

【题目】已知数列的前项和为，且满足；数列的前项和为，且满足， ， .

（1）求数列、的通项公式；

（2）是否存在正整数，使得恰为数列中的一项？若存在，求所有满足要求的；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）， （2）满足要求的为， .

【解析】试题分析：（1）由和项与通项关系得,根据等比数列定义及通项公式可得,由叠乘法可得,再由和项与通项关系得,根据等差数列定义及通项公式可得（2）先研究数列增减性: ,再研究确定可能情况:2,3,7,即得满足要求的

试题解析：解：（1）因为，所以当时， ，

两式相减得，即，又，则，

所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，故.

由得， ， ，…， ， ，

以上个式子相乘得，即①，当时， ②，

两式相减得，即（），

所以数列的奇数项、偶数项分别成等差数列，

又，所以，则，

所以数列是以为首项，1为公差的等差数列，因此数列的通项公式为

（2）当时， 无意义，

设（， ），显然.

则 ，即.

显然，所以，

所以存在，使得， ，

下面证明不存在，否则，即，

此式右边为3的倍数，而不可能是3的倍数，故该式不成立.

综上，满足要求的为， .