Question

【题目】如图，长方体的底面是边长为3的正方形，且，．

（Ⅰ）求证：平面平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】（Ⅰ）连接．

由长方体的性质知，且四边形是平行四边形，所以，………………1分

因为，所以，，

所以，．………………3分

由于平面，平面，平面，平面，

所以平面，平面．

又，所以平面平面．………………5分

（Ⅱ）以，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示，

因为，，所以，，

则，，，，，

所以，，，．…………7分

设平面的法向量为，则

即，令，则．………………8分

又设平面的法向量为，则

即，令，则．………………10分

所以，………………11分

因为二面角为锐角，所以二面角的余弦值为．………………12分

【命题意图】本题主要考查面面平行的判定定理、二面角、空间向量的应用，意在考查学生的空间想象能

力、逻辑推理能力、转化能力、运算求解能力．