Question

10．已知函数f（x）=x²．
（1）若曲线f（x）的一条切线的斜率是2，求切点的坐标；
（2）求在点（-1，f（-1））处的切线方程；
（3）求过点（1，-2）处的切线方程．

Answer 1

分析 （1）设切点坐标，根据导数的几何意义可知切线的斜率为f′（t）=2，从而可求出切点坐标；
（2）先求出k=f′（-1）的值，得到切线的斜率，再求出切点坐标，最后根据点斜式求出直线方程即可．
（3）求出原函数的导函数，设出切点坐标，表示出切线方程，将（1，-2）代入切线方程，求出切点坐标，从而求出切线方程即可．

解答 解：（1）设切点坐标为（t，t²），
根据导数的几何意义可知切线的斜率为f′（t）=2t=2，解得t=1，
∴切点坐标为（1，1）；
（2）∵f′（x）=2x，
∴k=f′（-1）=-2，
而f（-1）=1，则切点为（-1，1），
∴切线方程为y-1=-2[x-（-1）]，即2x+y+1=0．
（3）由f（x）=x²，得f′（x）=2x，
设切点坐标是（a，a²），
则f′（a）=2a，
故切线方程是：y-a²=2a（x-a），
将（1，-2）代入切线方程得：
-2-a²=2a（1-a），解得：a=1±$\sqrt{3}$，
故切线方程是：y=2（1+$\sqrt{3}$）x-（4+2$\sqrt{3}$）
或y=2（1-$\sqrt{3}$）x-（4-2$\sqrt{3}$）．

点评 本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及导数的几何意义，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．