Question

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（b＞0，a＞0）的两条渐近线为l₁，l₂，过右焦点F作垂直l₁的直线交l₁，l₂于A，B两点，若|OA|，|AB|，|OB|成等差数列，则双曲线的离心率为

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,等差数列与等比数列,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：确定渐近线的夹角范围，求出离心率的范围，再用勾股定理得出直角三角形的2个直角边的长度比，联想到渐近线的夹角，求出渐近线的斜率，进而求出离心率．

解答： 解：双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（b＞a＞0）的两条渐近线方程分别为
y=±

b

a

x，
不妨设

BF

，

FA

同向，则渐近线的倾斜角为（0，

π

4

），
∴渐近线斜率k′＜1，
∴

b2

a2

=e²-1＜1，
∴1＜e²＜2，
若|OA|，|AB|，|OB|成等差数列，
则|OA|+|OB|=2|AB|，
∵|AB|²=（|OB|-|OA|）（|OB|+|OA|）=（|OB|-|OA|）2|AB|，
∴|AB|=2（|OB|-|OA|），
∵|OA|+|OB|=2|AB|，
∴|OA|=

3

4

|AB|，
∴

|AB|

|OA|

=

4

3

，
而在直角三角形OAB中，注意到三角形OAF也为直角三角形，即tan∠AOB=

4

3

而由对称性可知：OA的斜率为k=tan

1

2

∠AOB，
∴

2k

1-k2

=

4

3

，∴2k²+3k-2=0，∴k=

1

2

（k=-2舍去）；
∴

b

a

=

1

2

，
∴

c2-a2

a2

=

1

4

，即c²=

5

4

a²，
∴e=

c

a

=

5

2

．
故答案为：

5

2

．

点评：本题考查了双曲线的简单性质以及等差数列的性质，由

|AB|

|OA|

=

4

3

联想到对应的是渐近线的夹角的正切值，是解题的关键．