Question

设sinβ=sinαcos（α+β），α，β∈（0，

π

2

），α+β≠

π

2

，当tanβ取得最大值时tan（α+β）的值．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,两角和与差的正切函数

专题：三角函数的求值

分析：首先对三角函数关系式进行恒等变换，整理成tanβ=

sinαcosα

1+sin2α

，进一步利用恒等变换变形成tanβ=

1

2tanα+ 1 tanα

再利用基本不等式求解，最后求得结果．

解答： 解；sinβ=sinαcos（α+β），
则：sinβ=sinα（cosαcosβ-sinαsinβ）=sinαcosαcosβ-sinαsinαsinβ
等式两边都除以cosβ得到：tanβ=sinαcosα-sin²αtanβ
整理得：tanβ=

sinαcosα

1+sin2α

所以：tanβ=

sinαcosα

1+sin2α

=

tanα

2tan2α+1

=

1

2tanα+ 1 tanα

由于：α，β∈（0，

π

2

），α+β≠

π

2

，
所以：2tanα+

1

tanα

≥2

2

所以：tanβ=

1

2tanα+ 1 tanα

≤

2

4

即当tanα=

2

2

时，tanβ的最大值为

2

4

tan(α+β)=

tanα+tanβ

1-tanβtanα

=

2

点评：本题考查的知识要点：三角寒素关系式的恒等变换，基本不等式的应用，属于基础题型．