Question

在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面△ABC为正三角形且边长为

3

a，侧棱AA₁=2a，点A在下底面的射影是△A₁B₁C₁的中心O．
（Ⅰ）求证：AA₁⊥B₁C₁；
（Ⅱ）求二面角B₁-AA₁-C₁所成角的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,空间中直线与直线之间的位置关系

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）由已知得B₁C₁⊥A₁O，AO⊥B₁C₁，由此能证明B₁C₁⊥面A₁AO，从而得到B₁C₁⊥AA₁．
（Ⅱ）过B₁作B₁D⊥AA₁，交AA₁于D，连结DC₁，由已知得∠B₁DC₁是二面角B₁-AA₁-C₁的平面角，由此能求出二面角B₁-AA₁-C₁所成角的余弦值．

解答： （Ⅰ）证明：∵A在底面△A₁B₁C₁上射影是下底面正△A₁B₁C₁的中心O，
∴B₁C₁⊥A₁O，又AO⊥平面A₁B₁C₁，
∴AO⊥B₁C₁，
∴B₁C₁和两相交直线AO，A₁O均垂直，
∴B₁C₁⊥面A₁AO，
又AA₁?面A₁AO，∴B₁C₁⊥AA₁．
（Ⅱ）解：过B₁作B₁D⊥AA₁，交AA₁于D，连结DC₁，
∵AA₁⊥B₁C₁，AA₁⊥DB₁，
∴AA₁⊥面DB₁C₁，∴AA₁⊥DC₁，
∴∠B₁DC₁是二面角B₁-AA₁-C₁的平面角，
又A在底面A₁B₁C₁上的投影是△A₁B₁C₁的中心，
∴AA₁=AB₁=2a，
在△AA₁B₁中，由AA₁=AB₁=2a，A1B1=

3

a，
由面积法知：B1D=

3 a• 13 2 a

2a

=

39

4

a，同理DC₁=

39

4

a，
在△C₁DB₁中，由余弦定理得cos∠B₁DC₁=

39 16 + 39 16 -3

2• 39 4 • 39 4

=

5

13

，
∴二面角B₁-AA₁-C₁所成角的余弦值为

5

13

．

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要注意空间思维能力的培养．