Question

如图，在Rt△ABC中，|

PA

|=|

BC

|=a且

PA

=

1

2

PQ

，向

PQ

和

BC

的夹角θ取何值，

CP

•

BQ

的值最大？并求出这个最大值．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：三角函数的图像与性质,平面向量及应用

分析：以直角顶点A为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系．求出各顶点的坐标后，进而给出向量

BP

，

CQ

的坐标，然后利用平面向量的数量值运算公式，构造一个关于cosθ的式子，然后根据cosθ的取值范围，分析出

BP

•

CQ

的最大值．

解答： 解：以直角顶点A为坐标原点，
两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系．
设|AB|=c，|AC|=b，则A（0，0），B（c，0），C（0，b），
且|PQ|=2a，|BC|=a．
设点P的坐标为（x，y），则Q（-x，-y）．
∴

BP

=（x-c，y），

CQ

=（-x，-y-b），

BC

=（-c，b），

PQ

=（-2x，-2y）．
∴

BP

•

CQ

=（x-c）•（-x）+y（-y-b）=-（x²+y²）+cx-by=-a²+cx-by．
∵cosθ=

PQ •BC

| PQ |•| BC |

=

cx-by

a2

．
∴cx-by=a²cosθ．
∴

BP

•

CQ

=-a²+a²cosθ．
故当cosθ=1，即θ=0（

PQ

与

BC

方向相同）时，

BP

•

CQ

最大，其最大值为0．

点评：本题主要考查向量的数量积的坐标表示和性质等概念，平面向量的运算法则，考查运用向量及三角函数的值域的能力．