Question

如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D是BC的中点，AA₁=AB=1．
（Ⅰ）求证：A₁C∥平面AB₁D；
（Ⅱ）求二面角B-AB₁-D的正切值；
（Ⅲ）求点C到平面AB₁D的距离．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）连接A₁B，交AB₁于E，连DE，由矩形的性质及三角形中位线定理，可得DE∥A₁C，再由线面平行的判定定理，即可得到A₁C∥平面AB₁D．
（Ⅱ）过D作DF⊥AB于F，过F作FG⊥AB₁于G，连接DG．我们可以得到∠DGF为二面角B-AB₁-D的平面角．解三角形DGF，即可求出二面角B-AB₁-D的正切值．
（Ⅲ）连接A₁D，设点C到平面AB₁D的距离为d．由VA1-AB1D=VB1-A1AD，利用等积法能求出点C到平面AB₁D的距离．

解答： （Ⅰ）证明：连结A₁B，AB₁，交于点E，则E是AB₁中点，
连结DE，∵D是BC的中点，
∴DE是△A₁BC的中位线，
∴DE∥A₁C，
∵A₁C不包含于平面AB₁D，DE?平面AB₁D，
∴A₁C∥平面AB₁D．
（Ⅱ）过D作DF⊥AB于F，过F作FG⊥AB₁于G，连接DG．
因为平面A₁ABB₁⊥平面ABC，DF⊥AB，所以DF⊥平面A₁ABB₁．
又AB₁?平面A₁ABB₁，所以AB₁⊥DF．
又FG⊥AB₁，所以AB₁⊥平面DFG，所以AB₁⊥DG．
又AB₁⊥FG，所以∠DGF为二面角B-AB₁-D的平面角．
因为AA₁=AB=1，
所以在正△ABC中，DF=

3

4

，
在△ABC中，FG=

3

4

BE=

3 2

8

，
所以在Rt△DFG中，tan∠DFG=

DF

FG

=

6

3

．
（Ⅲ）连接A₁D，设点C到平面AB₁D的距离为d．
因为正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D是BC的中点，AA₁=AB=1，
所以VA1-AB1D=VB1-A1AD，
所以

1

3

×

1

2

×

3

2

×

5

2

×d=

1

3

×

1

2

×

3

2

×1×1×

1

2

，
解得d=

5

5

．
故点C到平面AB₁D的距离为

5

5

．

点评：本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，用空间向量求平面的夹角，解题时要注意空间思维能力的培养．