Question

设关于x的一元二次方程x²+2ax+b²=0．
（1）若a，b是从区间[0，3]任取的两个整数，求上述方程有实根的概率；
（2）若a，b是从区间[0，3]上任取的两个实数，求上述方程有实根的概率．

Answer 1

考点：几何概型,二次函数的性质

专题：概率与统计

分析：（1）由一元二次方程的判别式大于等于0得到方程x²+2ax+b²=0有实数根的充要条件为a≥b，用列举法求出a，b是从[0，3]任取的两个整数即从0，1，2，3四个数中任取的两个数，查出满足a≥b的事件数，然后直接利用古典概型概率计算公式求解；
（2）由题意求出点（a，b）所构成的正方形的面积，再由线性规划知识求出满足a≥b的区域面积，由测度比是面积比求概率．

解答： 解：设事件A为“方程x²+2ax+b²=0有实数根”．
当a≥0，b≥0时，方程x²+2ax+b²=0有实数根的充要条件为a≥b
（1）基本事件共16个：（0，0），（0，1），（0，2），（0，3），（1，0），（1，1），（1，2），（1，3），（2，0），
（2，1），（2，2），（2，3），（3，0），（3，1），（3，2），（3，3）．其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．
事件A中包含10个基本事件．
事件A发生的概率为P（A）=

9

16

；
（2）试验的全部结果所构成的区域为{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤3}．
构成事件A的区域为{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤3，a≥b}．
如图，

∴所求的概率P（A）=

1 2 ×3×3

3×3

=

1

2

．

点评：本题考查了古典概型及其概率计算公式，考查了几何概型的概率，关键是理解（2）的测度比，是基础题．