Question

菱形的一个内角为60°，边长为4，一椭圆经过它的两个顶点，并以它的另外两个顶点为焦点，则椭圆的标准方程是

 

．

Answer 1

考点：椭圆的标准方程

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由椭圆的焦点是菱形60°角的两个顶点，根据椭圆的定义可知2a=8，由图及已知条件可得b=BO=BC•sin30°=2，a=OC=2

3

，即可求出椭圆方程．

解答： 解：不妨设以菱形内角为60⁰的一对顶点为端点的对角线所在的直线为x轴，
建立直角坐标系．
设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），C'，C为焦点，
由图及已知条件可得，
b=BO=BC•sin30°=2，c=CO=

16-4

=2

3

，a=

b2+c2

=4，
故所求之椭圆方程为

x2

16

+

y2

4

=1或

y2

16

+

x2

4

=1．
若以B'，B为焦点，则同样方法求得椭圆方程为

x2

16

+

y2

12

=1或

y2

16

+

x2

12

=1．
故答案为：

x2

16

+

y2

4

=1或

y2

16

+

x2

4

=1或

x2

16

+

y2

12

=1或

y2

16

+

x2

12

=1．

点评：此题是个基础题．考查椭圆的定义和标准方程即简单的几何性质，应用了待定系数法求椭圆方程，体现了数形结合的思想方法．