Question

设函数f（x）=2

3

cos2x+2sinxcosx-

3

，求：
（1）函数f（x）的单调递增区间；
（2）若f(

α

2

-

π

6

)-f(

α

2

+

π

12

)=2

2

，且α∈(

π

2

，π)，求α的值．

Answer 1

考点：复合三角函数的单调性,三角函数的恒等变换及化简求值,二倍角的余弦,正弦函数的单调性

专题：综合题,三角函数的图像与性质

分析：由题意，先化简函数f（x）=2sin(2x+

π

3

)
（1）根据复合函数的单调性令2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈z，解之即可得到函数的单调性增区间；
（2）f(

α

2

-

π

6

)-f(

α

2

+

π

12

)=2

2

，且α∈(

π

2

，π)，得到三角方程，解三角方程即可得出α的值．

解答： 解：f（x）=2

3

cos2x+2sinxcosx-

3

=

3?

(cos2x+1)+sin2x-

3?

=

3?

sin(2x+1)+sin2x=2sin(2x+

π

3

)，
（1）令2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈z，解得kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

，k∈z
即所求的单调递增区间是[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]，k∈z．
（2）f(

α

2

-

π

6

)-f(

α

2

+

π

12

)=2

2

，且α∈(

π

2

，π)，可得2sinα-2sin(α+

π

2

)=2

2

整理得sinα-cosα=

2

，即

2

sin(α-

π

4

)=

2

，sin(α-

π

4

)=1，
又且α∈(

π

2

，π)，所以α-

π

4

=

π

2

，解得α=

3π

4

点评：本题考查复合三角函数的单调性，三角函数恒等变换，三角方程的求解，属于三角函数性质与运算的综合考查题．