Question

【题目】如图，在三棱柱中，底面，，点是的中点．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求证：∥平面．

（Ⅲ）设，，在线段上是否存在点，使得?若存在，确定点的位置; 若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析； （Ⅲ）存在，为线段的中点，理由略．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）通过证得，且，即可证得平面，即证；

（Ⅱ） 设与的交点为，连结，因为是的中点，是的中点，由三角形的中位线定理得∥，又由线面平行的判定定理即证∥平面；

（Ⅲ） 在线段上存在点，使得，且为线段的中点．证明如下：由已知得．

由已知，为线段的中点，所以，可得平面．连接．因为平面，所以，易证，所以平面，即可得．

试题解析：（Ⅰ）在三棱柱中，因为底面，底面，

所以．

又，，

所以平面．

而，

则．

（Ⅱ）设与的交点为，连结，

因为是的中点，是的中点，

所以∥．

因为平面，平面，

所以∥平面．

（Ⅲ）在线段上存在点，使得，且为线段的中点．

证明如下：因为底面，底面，所以．

由已知，为线段的中点，

所以．

又，

所以平面．

取线段的中点，连接．

因为平面，所以．

由已知，由平面几何知识可得．

又，所以平面．

又平面，

所以．