Question

函数f（x）=msinx+

2

cosx（m＞0）的最大值为2，求在[0，π]的单调减区间．

Answer 1

考点：三角函数的最值

专题：计算题,三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：将f（x）解析式利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由正弦函数的值域表示出f（x）的最大值，由已知最大值为2列出关于m的方程，求出方程的解得到m的值，进而确定出f（x）的解析式，由正弦函数的递减区间为[2kπ+

π

2

，2kπ+

3π

2

]（k∈Z），列出关于x的不等式，求出不等式的解集即可得到f（x）在[0，π]上的单调递减区间．

解答： 解：f（x）=msinx+

2

cosx=

m2+2

sin（x+θ）（其中sinθ=

2

m2+2

，cosθ=

m

m2+2

），
∴f（x）的最大值为

m2+2

，
∴

m2+2

=2，
又m＞0，∴m=

2

，
∴f（x）=2sin（x+

π

4

），
令2kπ+

π

2

≤x+

π

4

≤2kπ+

3π

2

（k∈Z），解得：2kπ+

π

4

≤x≤2kπ+

5π

4

（k∈Z），
则f（x）在[0，π]上的单调递减区间为[

π

4

，π]．

点评：本题考查两角和与差的正弦函数公式，以及正弦函数的单调性，熟练掌握公式是解本题的关键．