Question

已知f(x)=cos(2x+

π

3

)-ksin2x，且f(

π

12

)=

3

2

．
（1）求实数k的值；
（2）求函数f（x）的单调递增区间及最大值，并指出取得最大值时的x值．

Answer 1

分析：（1）直接利用f(

π

12

)=

3

2

求出实数k的值．
（2）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为2sin（2x+

π

6

），由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

可得x的范围，从而求得函数f（x）的单调递增区间．再根据当2x+

π

6

=2kπ+

π

2

（k∈Z），函数f（x）取得最大值，求出最大值以及最大值时的x值．

解答：解：（1）由已知f(

π

12

)=cos

π

2

-ksin

π

6

=

3

2

，得k=-

3

．------（4分）
（2）∵f(x)=cos(2x+

π

3

)+

3

sin2x=cos2xcos

π

3

-sin2xsin

π

3

+

3

sin2x
=

1

2

cos2x-

3

2

sin2x+

3

sin2x=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x=sin(2x+

π

6

)，--------（8分）
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

可得 kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，
∴f（x）的单调递增区间为[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]（k∈Z）．-------（11分）
又当2x+

π

6

=2kπ+

π

2

（k∈Z），
即x=kπ+

π

6

(k∈Z)时，函数f（x）取得最大值为1．----------（14分）

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，三角函数的周期性和求法，属于中档题．