Question

把边长为的铁丝分成两段，围成一个正三角形和一个正方形，则正方形的边长为多少时，它和正三角形的面积之和最小。

Answer 1

正方形的边长为

设分成的两段为，，则，，∴，∴，∴得，∴当时，单调递增，当时，单调递减，∴时，最小，此时正方形的边长为。
名师点金：此题的变式比较新颖，真正体现了利用数学知识解决实际问题的思想，将原来的围成矩形改为围成一个矩形和一个正三角形，题目的难度有了显著的提升，在解此变式的过程中，要注意所设是有范围的，这一点很容易被忽略，另外，此题还可以作其他形状的变式，在此不一一列举。