Question

设二次函数f（x）=-x²+2x．
（Ⅰ）求函数y=（

1

2

）^f（x）的最小值；
（Ⅱ）问是否存在这样的正数m，n，当x∈[m，n]时，g（x）=f（x），且g（x）的值域为[

1

n

，

1

m

]？若存在，求出所有的m，n的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）先利用二次函数的性质求得函数f（x）的最小值，进而根据指数函数的单调性求得y的最小值．
（Ⅱ）先根据题意判断出1≤m＜n，进而根据二次函数的单调性分别求得f（n）=

1

n

，f（m）=

1

m

求得n和m．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=-（x-1）²+1≤1，
又y=（

1

2

）^t，为减函数，因此，当x=1时y有最小值

1

2

．
（Ⅱ）g（x）=f（x）=2x-x²=-（x-1）²+1≤1，
又m＞0，n＞0，
∴

1

m

≤1，m≥1，即1≤m＜n，f（x）为减函数，
于是

1

n

=g（n）=-n²+2n，即（n-1）（n²-n-1）=0，
∴

1

m

=g（m）=-m²+2m，即（m-1）（m²-m-1）=0，
∵1≤m＜n，
∴m=1，n=

1+ 5

2

点评：本题主要考查了二次函数的性质．特别是对二次函数单调性的应用．