Question

已知向量

m

=（-1，

3

），

n

=（cosx，sinx），f（x）=

m

•

n

（Ⅰ）若cosθ=

3

5

，0＜θ＜

π

2

，求f（θ）；
（Ⅱ）若1≤f（θ）≤

3

，θ∈[0，π]，求θ的取范围；
（Ⅲ）在条件（Ⅱ）下，求函数F（θ）=

f(θ)

f( π 2 +θ)

的值域．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,平面向量数量积的运算

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）先根据题意求得函数解析式，根据cosθ的值求得sinθ代入函数解析式．
（Ⅱ）利用两角和公式对函数解析式化简，进而根据f（θ）的范围确定sin（θ-

π

6

）进而确定θ的范围．
（Ⅲ）根据f（θ）的表达式对数F（θ）进而化简，根据θ的范围确定tan（θ-

π

6

）的范围，进而确定F（θ）的范围．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=

m

•

n

=-cosx+

3

sinx，
∵cosθ=

3

5

，0＜θ＜

π

2

，
∴sinθ=

4

5

，
∴f（θ）=-

3

5

+

3

×

4

5

=

4 3 -3

5

．
（Ⅱ）f（x）=-cosx+

3

sinx=2sin（x-

π

6

），
∵1≤f（θ）≤

3

，
∴1≤2sin（θ-

π

6

）≤

3

，
∴

1

2

≤sin（θ-

π

6

）≤

3

2

，
∵θ∈[0，π]，
∴θ-

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]，
∴

π

6

≤θ-

π

6

≤

π

3

或

2π

3

≤θ-

π

6

≤

5π

6

，
∴

π

3

≤θ≤

π

2

或

5π

6

≤θ≤π．
（Ⅲ）F（θ）=

f(θ)

f( π 2 +θ)

=

2sin(θ- π 6 )

2sin( π 2 +θ- π 6 )

=

sin(θ- π 6 )

cos(θ- π 6 )

=tan（θ-

π

6

），
由（Ⅱ）知，

π

3

≤θ≤

π

2

或

5π

6

≤θ≤π，
∴

3

3

≤tan（θ-

π

6

）≤

3

或-

3

≤tan（θ-

π

6

）≤-

3

3

．
即F（θ）的值域是[

3

3

，

3

]∪[-

3

，-

3

3

]．

点评：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数图象与性质．综合考查了学生推理和运算的能力．