Question

已知直线l经过抛物线y²=4x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点．
（1）若|AF|=4，求点A的坐标；
（2）设直线l的斜率为k，当线段AB的长等于5时，求k的值．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）根据焦半径公式求出A点的坐标；
（2）将直线的方程给出来，然后利用韦达定理结合弦长公式求解即可．

解答： 解：由y²=4x得焦点F（1，0），准线方程为x=-1．
（1）设A（x₁，y₁），所以|AF|=x₁+1=4，所以x₁=3，代入y²=4x得y₁=±2

3

．
所以A（3，±2

3

）．
（2）设直线l的方程为y=k（x-1），代入y²=4x整理得：k²x²-（2k²+4）x+k²=0．
再设B（x₂，y₂），则x₁+x₂=

2k2+4

k2

．
所以|AB|=x₁+x₂+2=5，所以x₁+x₂=

2k2+4

k2

=3．
k²=4．所以k=±2．

点评：本题考查了抛物线的定义及其几何性质，以及直线与抛物线的位置关系．直线与抛物线的位置关系问题，一般是将直线方程代入抛物线方程消元得到关于x的一元二次方程，然后借助于韦达定理解决后续问题．