【题目】如图,在六面体中,平面平面,平面,,,.且,.
(1)求证:平面;
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】
(1) 取中点,连接、,通过证明为平行四边形,可证,且,通过证明为平行四边形,可证,根据直线与平面平行的判定定理可证面;
(2) 以为坐标原点,以所在直线为轴,以所在直线为轴,以所在直线为轴,建立空间直角坐标系后,利用平面的法向量可求得结果.
(1)取中点,连接、,
如图所示:
∵,为中点,,
∴,
又∵,
∴为平行四边形,
∴,且,
∵面面,且面面,面面,
∴,
又∵,且,
∴,且,
∴为平行四边形,
∴,
又∵面,面,
∴面.
(2)以为坐标原点,以所在直线为轴,以所在直线为轴,以所在直线为轴,建立如图所示空间直角坐标系,
则,,,.
设平面的法向量为,
∵,,
∴,
∴,
∴,
同理,面的法向量,
∴.
二面角的余弦为.
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【题目】某教育部门为了了解某地区高中学生校外补课的情况,随机抽取了该地区100名学生进行调查,其中女生50人,将周补课时间不低于4小时的学生称为“补课迷”.已知“补课迷”中有10名女生,右边是根据调查样本结果绘制的学生校外周补课时间的频率分布直方图(时间单位为:小时).
(1)根据调查样本的结果估计该地区高中学生每周课外补课的平均时间(说明:同一组中的数据用该组区间的中间值作代表);
(2)根据已知条件完成下面的列联表,根据调查资料你是否有的把握认为“补课迷”与性别有关?
非补课迷 | 补课迷 | 合计 | |
男 | |||
女 | |||
合计 |
(3)将周补课时间不低于8小时者称为“超级补课迷”,已知调查样本中,有2名“超级补课迷”是女生,若从“超级补课迷”中任意选取3人,求至多有1名女学生的概率.
附:.
0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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【题目】给出下列四个命题:
若为的极值点,则”的逆命题为真命题;
“平面向量,的夹角是钝角”的充分不必要条件是;
若命题,则 ;
命题“,使得”的否定是:“,均有”.其中不正确的个数是
A. 3B. 2C. 1D. 0
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【题目】如图,在四棱锥中,底面是边长为2的菱形,,,平面平面,点为棱的中点.
(Ⅰ)在棱上是否存在一点,使得平面,并说明理由;
(Ⅱ)当二面角的余弦值为时,求直线与平面所成的角.
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【题目】已知在中,,,点在抛物线上.
(1)求的边所在的直线方程;
(2)求的面积最小值,并求出此时点的坐标;
(3)若为线段上的任意一点,求的取值范围.
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【题目】极坐标系与直角坐标系有相同的长度单位,以原点为极点,以轴正半轴为极轴.已知曲线的极坐标方程为,曲线的极坐标方程为,射线,,,与曲线分别交异于极点的四点,,,.
()若曲线关于曲线对称,求的值,并把曲线和化成直角坐标方程.
()求,当时,求的值域.
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【题目】在平面直角坐标系中,已知直线的方程为,.
(1)若直线在轴、轴上的截距之和为-1,求坐标原点到直线的距离;
(2)若直线与直线:和:分别相交于、两点,点到、两点的距离相等,求的值.
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【题目】某部门在同一上班高峰时段对甲、乙两地铁站各随机抽取了50名乘客,统计其乘车等待时间(指乘客从进站口到乘上车的时间,乘车等待时间不超过40分钟).将统计数据按分组,制成频率分布直方图:
假设乘客乘车等待时间相互独立.
(1)在上班高峰时段,从甲站的乘客中随机抽取1人,记为;从乙站的乘客中随机抽取1人,记为.用频率估计概率,求“乘客,乘车等待时间都小于20分钟”的概率;
(2)从上班高峰时段,从乙站乘车的乘客中随机抽取3人,表示乘车等待时间小于20分钟的人数,用频率估计概率,求随机变量的分布列与数学期望.
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