Question

已知函数，，．
(1)若，试判断并证明函数的单调性；
(2)当时，求函数的最大值的表达式．

Answer 1

(1)判断：若，函数在上是增函数. 用单调性的定义证明即可， (2)   

试题分析：(1)判断：若，函数在上是增函数.          …………2分
证明：当时，，在区间上任意，设，

所以，即在上是增函数.        …… 7分
(注：用导数法证明或其它方法说明也同样给7分)
(2)因为，所以…… 9分
①当时，在上是增函数，在上也是增函数，
所以当时，取得最大值为；                   …… 10分
②当时，在上是增函数，
在上是减函数，在上是增函数，
而，
当时，，当时，函数取最大值为；
当时，，当时，函数取最大值为；
综上得，  ……14分
点评：利用函数的单调性是解决函数最值及值域的最基本的方法，另外函数单调性的定义是证明单调性的最基本的方法，要掌握其步骤