Question

已知函数f（x）=x|x－a|－lnx，a∈R.
（Ⅰ）若a=1，求函数f（x）在区间[1，e]上的最大值；
（Ⅱ）若f（x）>0恒成立，求a的取值范围.

Answer 1

(1) f（x）=f（e）=e－e－1.
(2) 满足条件的a的取值范围是（－，1）

试题分析：
当x∈[1，e]时，f（x）=x－x－lnx，f′（x）=2x－1－=>0，
所以f（x）在[1，e]上单调递增，∴f（x）=f（e）=e－e－1.             4分
（Ⅱ）函数f（x）的定义域为（0，+）. 由f（x）>0，得|x－a|>.      *
（i）当x∈（0，1）时，|x－a|≥0， <0，不等式*恒成立，
所以a∈R；                                                      5分
（ii）当x=1时，|1－a|≥0，=0，所以a1；                      6分
（iii）当x>1时，不等式*恒成立等价于a<x－恒成立或a>x+恒成立.
令h（x）=x－，则h′（x）=.
因为x>1，所以h′（x）>0，从而h（x）>1.
因为a<x－恒成立等价于a<（h(x)），所以a≤1.
令g（x）=x+，则g′（x）=.再令e（x）=x+1－lnx，则e′（x）=2x－>0在x∈（1，+）上恒成立，e（x）在x∈（1，+）上无最大值.               11分
综上所述，满足条件的a的取值范围是（－，1）.                  12分
点评：主要是考查了导数在研究函数中的运用，运用导数判定函数单调性以及函数的最值，属于基础题。