Question

9．如图，旅客从某旅游区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50米/分钟，在甲出发2分钟后，乙从A乘缆车到B，再从B匀速步行到C．假设缆车匀速直线运动的速度为130米/分钟，山路AC长1260米，经测量，cosA=$\frac{12}{13}$，cosC=$\frac{3}{5}$．
（1）求索道AB的长；
（2）问乙出发后多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？

Answer 1

分析 （1）根据正弦定理即可确定出AB的长；
（2）设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了（100+50t）m，乙距离A处130t m，由余弦定理即可得解．

解答 （本题满分为10分）
解：（1）∵在$△ABC中，cosA=\frac{12}{13}，cosC=\frac{3}{5}$，
∴$sinA=\frac{5}{13}，sinC=\frac{4}{5}$，
∴$sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosCsinA=\frac{63}{65}$，
∴由正弦定理$\frac{AB}{sinC}=\frac{AC}{sinB}，AB=\frac{ACsinC}{sinB}=1040米$，
∴索道AB的长为1040m．   …（5分）
（2）假设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d，
此时，甲行走了（100+50t）m，乙距离A处130t m，
所以由余弦定理得：
d²=（130t）²+2500（t+2）²-2•130t•50（t+2）$\frac{12}{13}$
=200（37t²-70t+50）
=$200[37{（t-\frac{35}{37}）^2}+\frac{625}{37}\}，t∈[0，8]$，
故$当t=\frac{35}{37}分时，甲乙的距离最短$．…（10分）

点评 此题考查了余弦定理，锐角三角函数定义，以及勾股定理，利用了分类讨论及数形结合的思想，属于解直角三角形题型，属于中档题．