Question

19．设函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³+x²-3x，若方程|f（x）|²+t|f（x）|+1=0有12个不同的根，则实数t的取值范围为（　　）

• A． （-$\frac{10}{3}$，-2）
• B． （-∞，-2）
• C． -$\frac{34}{15}$＜t＜-2
• D． （-1，2）

Answer 1

分析 求出函数f（x）的导数，判断函数的单调性和极值，利用换元法设|f（x）|=m，转化为一元二次函数根的分布进行求解即可．

解答 解：$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}+{x^2}-3x，f'（x）={x^2}+2x-3=0$，
得x=-3，x=1，
由f′（x）＞0得x＞1或x＜-3，即函数在（-∞，-3），（1，+∞）单调递增，
由f′（x）＜0得-3＜x＜1，则函数在（-3，1）单调递减，
则函数的极大值为f（-3）=9，函数的极小值为$f（1）=-\frac{5}{3}$，
根据函数的图象可知，
设|f（x）|=m，可知m²+tm+1=0，原方程有12个不同的根，
则m²+tm+1=0方程应在$（0，\frac{5}{3}）$内有两个不同的根，
设h（m）=m²+tm+1，
则$\left\{{\begin{array}{l}{h（\frac{5}{3}）＞0}\\{0＜-\frac{t}{2}＜\frac{5}{3}}\\{△={t^2}-4＞0}\end{array}}\right.⇒-\frac{34}{15}＜t＜-2$，
所以取值的范围$-\frac{34}{15}＜t＜-2$．
故选：C

点评 本题主要考查函数与方程的应用，求函数的导数判断函数的极值和单调性，以及利用换元法转化为一元二次函数是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．