Question

10．设A，B，C，D四点是半径为3的球面上四点，则三棱锥A-BCD的最大体积为$8\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 球内接三棱锥中正四面体的体积最大．设棱长为a，则由$R=\frac{{\sqrt{6}}}{4}a=3$，求出a，即可求出三棱锥A-BCD的最大体积．

解答 解：球内接三棱锥中正四面体的体积最大．
设棱长为a，则由$R=\frac{{\sqrt{6}}}{4}a=3$，得$a=2\sqrt{6}$，高为4，
所以${V_{ABCD}}=\frac{1}{3}（{\frac{{\sqrt{3}}}{4}{a^2}}）•h=8\sqrt{3}$．
故答案为：$8\sqrt{3}$．

点评 本题考查三棱锥A-BCD的最大体积，考查球的内接几何体，考查学生的计算能力，属于中档题．