Question

5．给出以下四个命题：
①若$\frac{1}{a}$＜$\frac{1}{b}$＜0，则$\frac{b}{a}$+$\frac{a}{b}$＞2；
②若a＞b，则am²＞bm²；
③在△ABC中，若sinA=sinB，则A=B；
④任意x∈R，都有ax²-ax+1≥0，则0＜a≤4．
其中是真命题的有（　　）

• A． ①②
• B． ②③
• C． ①③
• D． ③④

Answer 1

分析 ①根据不等式的性质，结合基本不等式成立的条件进行判断，
②当m=0时，不等式不成立，
③根据正弦定理进行判断，
④当a=0时，满足条件，但结论不成立．

解答 解：①若$\frac{1}{a}$＜$\frac{1}{b}$＜0，则b＜a＜0，则$\frac{b}{a}$＞0，
则$\frac{b}{a}$+$\frac{a}{b}$≥$2\sqrt{\frac{b}{a}•\frac{a}{b}}=2$，当且仅当$\frac{b}{a}$=$\frac{a}{b}$，即a=b取等号，∵a≠b，∴等号取不到，则$\frac{b}{a}$+$\frac{a}{b}$＞2，故①正确，
②若a＞b，则当m=0时，不等式am²＞bm²不成立，故②错误，
③在△ABC中，若sinA=sinB，由正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$得a=b，则A=B；故③正确，
④任意x∈R，都有ax²-ax+1≥0，则当a=0时，不等式等价为1≥0，即a=0也成立，故④错误，
故选：C

点评 本题主要考查命题的真假判断，涉及不等式的性质，正弦定理以及不等式恒成立问题，综合性较强，但难度不大．