Question

20．已知一个三棱柱，其底面是正三角形，且侧棱与底面垂直，一个表面积为4π的球与该三棱柱的所有面均相切，那么这个三棱柱的侧面积是$12\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 求出球的半径，然后求解棱柱的底面边长与高，即可求解侧面积．

解答 解：由球表面积为4π可得半径r=1，所以三棱柱高h=2，设底面三角形边长为a，
由体积关系 $3（\frac{1}{3}rha）+2（\frac{1}{3}•\frac{{\sqrt{3}}}{4}{a^2}r）=h•\frac{{\sqrt{3}}}{4}{a^2}$，
解得：$a=2\sqrt{3}$，
∴三棱柱的侧面积$3×2\sqrt{3}×2$=$12\sqrt{3}$．
故答案为：$12\sqrt{3}$．

点评 本题考查球表面积与棱柱的侧面积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．