Question

15．已知函数f（x）的导函数为f′（x），若x²f′（x）+xf（x）=sinx（x∈（0，6），f（π）=2，则下列结论正确的是（　　）

• A． xf（x）在（0，6）单调递减
• B． xf（x）在（0，6）单调递增
• C． xf（x）在（0，6）上有极小值2π
• D． xf（x）在（0，6）上有极大值2π

Answer 1

分析 设g（x）=xf（x），得到g′（x）=[xf（x）]′=$\frac{sinx}{x}$，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，得到函数的极大值，从而求出答案．

解答 解：∵x²f′（x）+xf（x）=sinx（x∈（0，6），
∴xf′（x）+f（x）=$\frac{sinx}{x}$，
设g（x）=xf（x），则g′（x）=[xf（x）]′=$\frac{sinx}{x}$，
由g′（x）＞0，解得：0＜x＜π，g′（x）＜0，解得：π＜x＜6，
∴x=π时，函数g（x）=xf（x）取得最大值g（π）=πf（π）=2π，
故选：D．

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，构造函数g（x）=xf（x）是解题的关键，本题是一道中档题．