Question

7．如图，直角三角形ABC中，∠BAC=60°，点F在斜边AB上，且AB=4AF，D，E是平面ABC同一侧的两点，AD⊥平面ABC，BE⊥平面ABC，AD=3，AC=BE=4．
（1）求证：平面CDF⊥平面CEF；
（2）若点M是线段CB的中点，求EM与平面CEF所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）连接DE，利用勾股定理证明CF⊥AB，从而得出CF⊥平面ABED，得出CF⊥EF，再利用勾股定理证明DF⊥EF得出EF⊥平面CDF，从而有平面CDF⊥平面CEF；
（2）以C为原点建立坐标系，求出$\overrightarrow{ME}$和平面CEF的法向量$\overrightarrow{n}$，则EM与平面CEF所成角的正弦值为|cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{ME}$＞|．

解答 证明：（1）连接DE．
∵AD⊥平面ABC，BE⊥平面ABC，CF?平面ABC，
∴AD∥BE，AD⊥CF．
∵AC=4，∠ACB=90°，∠BAC=60°，
∴AB=8，∴AF=$\frac{1}{4}AB$=2，BF=$\frac{3}{4}AB=6$．CF=$\sqrt{A{C}^{2}+A{F}^{2}-2AF•AC•cos60°}$=2$\sqrt{3}$．
∴AF²+CF²=AC²，∴CF⊥AB．
又AD?平面ABED，AB?平面ABED，AD∩AB=A，
∴CF⊥平面ABED，∵EF?平面ABED，
∴CF⊥EF．
又AD=3，BE=4，∴DE=$\sqrt{（BE-AD）^{2}+A{B}^{2}}$=$\sqrt{65}$，DF=$\sqrt{A{D}^{2}+A{F}^{2}}$=$\sqrt{13}$，EF=$\sqrt{B{F}^{2}+B{E}^{2}}$=$\sqrt{52}$．
∴DE²=DF²+EF²，∴DF⊥EF．
又CF?平面CDF，DF?平面CDF，CF∩DF=F，
∴EF⊥平面CDF，又EF?平面CEF，
∴平面CDF⊥平面CEF．
（2）以C为原点，以CA，CB为x，轴，y轴，以平面ABC的垂线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示：
则C（0，0，0），M（0，2$\sqrt{3}$，0），E（0，4$\sqrt{3}$，4），F（3，$\sqrt{3}$，0）．
∴$\overrightarrow{ME}$=（0，2$\sqrt{3}$，4），$\overrightarrow{CE}$=（0，4$\sqrt{3}$，4），$\overrightarrow{CF}$=（3，$\sqrt{3}$，0）．
设平面CEF的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CE}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CF}=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4\sqrt{3}y+4z=0}\\{3x+\sqrt{3}y=0}\end{array}\right.$，令x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-$\sqrt{3}$，3）．
∴cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{ME}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{ME}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{ME}|}$=$\frac{6}{\sqrt{13}•2\sqrt{7}}$=$\frac{3\sqrt{91}}{91}$．
∴EM与平面CEF所成角的正弦值为$\frac{3\sqrt{91}}{91}$．

点评 本题考查了面面垂直的判定，空间向量与线面角的计算，属于中档题．