Question

11．一个四面体的某个顶点上的三条棱两两垂直，这三条棱的长度分别为1、2、3，则这三条棱与此四面体的不经过这个顶点的一个面所成角大小的余弦的最大值为$\frac{3\sqrt{5}}{7}$．

Answer 1

分析 建立坐标系，求出三条棱与平面所成角的余弦值得出最大值．

解答 解：设四面体O-ABC中，OA，OB，OC两两垂直，且OA=1，OB=2，OC=3．
以O为原点，以OA，OB，OC为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：
则A（1，0，0），B（0，2，0），C（0，0，3），
∴$\overrightarrow{AB}$=（-1，2，0），$\overrightarrow{AC}$=（-1，0，3）.$\overrightarrow{OA}$=（1，0，0），$\overrightarrow{OB}$=（0，2，0），$\overrightarrow{OC}$=（0，0，3）．
设平面ABC的法向量为$\overrightarrow{n}$，则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-x+2y=0}\\{-x+3z=0}\end{array}\right.$，令z=1，得$\overrightarrow{n}$=（3，$\frac{3}{2}$，1）．
∴|cos＜$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{n}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{n}|}$|=$\frac{3}{\frac{7}{2}}$=$\frac{6}{7}$．
|cos＜$\overrightarrow{OB}，\overrightarrow{n}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{OB}||\overrightarrow{n}|}$|=$\frac{3}{2•\frac{7}{2}}$=$\frac{3}{7}$，
|cos＜$\overrightarrow{OC}，\overrightarrow{n}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{OC}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{3}{3•\frac{7}{2}}$=$\frac{2}{7}$．
∴OA，OB，OC与平面ABC所成角的正弦值分别为$\frac{6}{7}$，$\frac{3}{7}$，$\frac{2}{7}$，
∴OA，OB，OC与平面ABC所成角的余弦值分别为$\frac{\sqrt{13}}{7}$，$\frac{2\sqrt{10}}{7}$，$\frac{3\sqrt{5}}{7}$．
∴三条棱与平面ABC所成角的余弦值最大为$\frac{3\sqrt{5}}{7}$．
故答案为：$\frac{3\sqrt{5}}{7}$

点评 本题考查了空间向量与线面角的计算，属于中档题．