Question

【题目】已知边长为4的正三角形ABC的边AB、AC上分别有两点D、E，DE//BC且DE=3，现将△ABC沿DE折成直二面角A﹣DE﹣B，在空间中取一点F使得ADBF为平行四边形，连接AC、FC得六面体ABCEDF，G是BC边上动点.

（1）若EG//平面ACF，求CG的长；

（2）若G为BC中点，求二面角G﹣AE﹣D的平面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）1；（2）.

【解析】

（1）由平行四边形可得AF//BD,则BD//平面ACF,再由平面ACF∩平面BCED=CH,可得BD//CH,同理EG//CH,则BD//EG,即可求解；

（2）取DE中点O,连接AO,OG（取BC中点G）,以O为坐标原点,分别以OG,OE,OA所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,求得平面AEG的法向量,取平面AED的一个法向量为,进而利用数量积求解即可.

（1）设平面ACF与平面BCED的交线为CH（H在直线DE上）,

∵ADBF为平行四边形,∴AF//BD,

∵AF平面ACF,BD平面ACF,

∴BD//平面ACF,

又BD平面BCED, 平面ACF∩平面BCED=CH,∴BD//CH,

∵EG//平面ACF,EG平面BCED,平面ACF∩平面BCED=CH,∴EG//CH,

∴BD//EG,

∴是平行四边形,

∴BG=DE=3,则CG=BC-BG=1

（2）取DE中点O,连接AO,OG（取BC中点G）,则AO⊥DE,OG⊥DE,

又平面ADE⊥平面BCED,且平面ADE∩BCED=DE,∴AO⊥平面BCED,

以O为坐标原点,分别以OG,OE,OA所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,如图所示,

则E（0,,0）,A（0,0,）,G（,0,0）,

则,,

设平面AEG的法向量为,

由,取z=1,得,

取平面AED的一个法向量为,

∴,

∴二面角G﹣AE﹣D的平面角的余弦值为.