Question

已知AB和CD是曲线C：

x=4t2 y=4t

（t为参数）的两条相交于点P（2，2）的弦，若AB⊥CD，且|PA|•|PB|=|PC|•|PD|．
（1）将曲线C的参数方程化为普通方程，并说明它表示什么曲线；
（2）试求直线AB的方程．

Answer 1

考点：参数方程的优越性,参数方程化成普通方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（1）直接消去参数t，可得曲线C的普通方程，说明曲线特征即可．
（2）直线AB和CD的倾斜角为α、β，求出直线AB和CD的参数方程，与y²=4x联立，由t的几何意义以及韦达定理，通过由|PA|•|PB|=|PC|•|PD|．AB⊥CD求出直线AB的倾斜角，得到直线AB的方程．

解答： 解：（1）曲线C：

x=4t2 y=4t

（t为参数）消去t可得y²=4x，轨迹是顶点在原点对称轴为x轴，焦点为（1，0）的抛物线．
（2）设直线AB和CD的倾斜角为α、β，
则直线AB和CD的参数方程分别为：

x=2+tcosα y=2+tsinα

…①和

x=2+t′cosβ y=2+t′sinβ

…②，
把①代入y²=4x中的：t²sin²α+（4sinα-4cosα）t-4=0，…③
依题意可知sinα≠0且方程③的△=16（sinα-cosα）²+16sin²α＞0
∴方程③有两个不相等的实数根t₁，t₂
则t₁•t₂=

-4

sin2α

…④，
由t的几何意义可知|PA|=|t₁|，|PB|=|t₂|，
|PA|•|PB|=|t₁•t₂|=

4

sin2α

…⑤，
同理，|PC|•|PD|=

4

sin2β

…⑥，
由|PA|•|PB|=|PC|•|PD|．
可知：

4

sin2α

=

4

sin2β

即sin²α=sin²β，∵0≤α，β＜π．
∴α=π-β，∵AB⊥CD∴β=α+90°或α=β+90°
∴直线AB的倾斜角为

π

4

或

3π

4

．
∴k_AB=1或-1，故直线AB的方程为：y=x或x+y-4=0．

点评：本题考查参数方程与直角坐标方程的互化，参数方程的几何意义是解题的关键，体现参数方程的优越性．