Question

已知函数f（x）=a^x-xlna，其中a＞0且a≠1．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）若a＞1，求函数f（x）在〔-1，1〕上的最小值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（I）对a分类讨论，利用指数函数和对数函数的单调性，利用导数与函数单调性的关系即可得出；
（II）利用（I）d的结论即可得出．

解答： 解：（I）①当a＞1时，lna＞0，f′（x）=a^xlna-lna=（a^x-1）lna，
当x＞0时，a^x＞1，∴f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增；当x＜0时，0＜a^x＜1，∴f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减．
②当0＜a＜1时，lna＜0，f′（x）=a^xlna-lna=（a^x-1）lna，
当x＞0时，0＜a^x＜1，∴f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增；当x＜0时，a^x＞1，∴f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减．
（II）当a＞1时，由（I）可知：函数f（x）在（-1，0）单调递减；函数f（x）在（0，1）单调递增．
因此当x=0时，函数f（x）取得最小值，f（0）=1．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、指数函数与对数函数的单调性，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．