Question

已知函数f（x）=

ex+x+1(x＜0) - 1 3 x3+2x(x≥0)

，给出如下四个命题：
（1）f（x）在[

2

，+∞）上是减函数   
（2）f（x）的最大值是2
（3）函数y=f（x）有三个零点   
（4）f（x）≤

4

3

2

在R上恒成立
其中正确命题有

 

．（把正确命题序号都填上）

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用,简易逻辑

分析：对原函数分段求导，由函数在不同区间段内的导数得到函数的单调性，并求得函数在不同区间内的取值情况，然后逐一核对四个命题得答案．

解答： 解：由f（x）=

ex+x+1(x＜0) - 1 3 x3+2x(x≥0)

，得
f′(x)=

ex+1(x＜0) -x2+2(x≥0)

，
对于（1），当x≥

2

时，f′（x）≤0，f（x）在[

2

，+∞）上是减函数．命题（1）正确；
对于（2），当x＜0时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，当0≤x≤

2

时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，
又f（

2

）=-

1

3

×(

2

)3+2

2

=

4 2

3

．
∴当x＜0时，f（x）∈（-∞，2）．当x≥0时，f（x）∈（-∞，

4 2

3

]．
∴f（x）在定义域内的最大值为

4 2

3

，命题（2）错误；
对于（3），∵f（x）在（-∞，0）上为增函数，在[0，

2

）上为增函数，在（

2

，+∞）上为减函数，又f（0）=0，结合（2）可知函数y=f（x）有三个零点．命题（3）正确；
对于（4），由（2）可知f（x）≤

4

3

2

在R上恒成立错误．
∴正确的命题有（1）（3）．
故答案为：（1）（3）．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，考查了利用导数研究函数的单调性及其最值，考查了函数的性质，是中档题．