Question

给出下列命题：
①在△ABC中，若

AB

•

AC

＞0，则△ABC是钝角三角形
②在△ABC中，若sinAsinB＜cosAcosB，则△ABC是钝角三角形
③在△ABC中，若acosA=bcosB，则△ABC是等腰三角形
④若a²+b²＜c²则△ABC为钝角三角形
⑤若

b

≠

0

，且

a

•

b

=

c

•

b

，则

a

=

c

其中，正确命题序号是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：解三角形,简易逻辑

分析：由

AB

•

AC

＞0只能说明∠A为锐角，①错误；
由两角差的余弦得到∠C为钝角，说明②正确；
由正弦定理结合倍角的正弦公式得到A=B或A+B=

π

2

，说明③错误；
由余弦定理求出∠C为钝角，说明④正确；
由向量垂直数量积为0说明⑤错误．

解答： 解：对于①，在△ABC中，由

AB

•

AC

＞0，得∠A为锐角，不能说明△ABC是钝角三角形．命题①错误；
对于②，在△ABC中，由sinAsinB＜cosAcosB，得cos（A+B）＞0，则cosC＜0，∠C为钝角，
则△ABC是钝角三角形．命题②正确；
对于③，由acosA=bcosB，结合正弦定理得sinAcosA=sinBcosB，即sin2A=sin2B．
∴2A=2B或2A+2B=π，即A=B或A+B=

π

2

．
则△ABC是等腰三角形或直角三角形．命题③错误；
对于④，由a²+b²＜c²，得cosC=

a2+b2-c2

2ab

＜0，
∴∠C为钝角，△ABC为钝角三角形．命题④正确；
对于⑤，若

b

≠

0

，当

a

，

c

均为非零向量且都与

b

垂直时有

a

•

b

=

c

•

b

，此时

a

与

c

不一定相等．命题⑤错误．
∴正确的命题是②④．
故答案为：②④．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，是中档题．