Question

已知函数g（x）=

x

lnx

，f（x）=g（x）-ax．
（Ⅰ）求函数g（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）在（1，+∞）上是减函数，求实数a的最小值；
（Ⅲ）若?x₁∈[e，e²]，?x₂∈[e，e²]，使g（x₁）≤f′（x₂）+2a成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,导数的运算,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（I）利用导数的运算法则可得g′（x），分别解出g′（x）＞0，g′（x）＜0，即可得出其单调区间；
（II）函数f（x）在（1，+∞）上是减函数，可得f′（x）≤0恒成立，即

lnx-1-a(lnx)2

(lnx)2

≤0恒成立．通过分离参数转化为a≥[

1

lnx

-

1

(lnx)2

]max．，再利用二次函数的单调性即可得出；
（III））由于?x₁∈[e，e²]，?x₂∈[e，e²]，使g（x₁）≤f′（x₂）+2a成立，可得g(x1)max≤[f′(x2)+2a]max．分别利用导数和二次函数的单调性即可得出．

解答： 解：（I）g′(x)=

lnx-1

(lnx)2

（x＞0且x≠1）．
令g′（x）＞0，解得，x＞e，因此函数g（x）在区间（e，+∞）单调递增；
令g′（x）＜0，解得0＜x＜e且x≠1，因此函数g（x）在区间（0，1），（1，e）单调递减．
（II）f（x）=g（x）-ax=

x

lnx

-ax（x＞1）．f′（x）=

lnx-1-a(lnx)2

(lnx)2

．
∵函数f（x）在（1，+∞）上是减函数，∴f′（x）≤0恒成立，即

lnx-1-a(lnx)2

(lnx)2

≤0恒成立．
∴a≥[

1

lnx

-

1

(lnx)2

]max．
∵x＞1，∴lnx＞0，
∴

1

lnx

-

1

(lnx)2

=-(

1

lnx

-

1

2

)2+

1

4

≤

1

4

，当lnx=2，即x=e²时取等号．
∴a≥

1

4

．
∴实数a的最小值是

1

4

．
（III）∵?x₁∈[e，e²]，?x₂∈[e，e²]，使g（x₁）≤f′（x₂）+2a成立，
∴g(x1)max≤[f′(x2)+2a]max．
由（I）可知：g（x₁）在[e，e²]上单调递增，∴g（x₁）_max=g（e²）=

e2

2

．
∵x∈[e，e²]，∴1≤lnx≤2，∴

1

2

≤

1

lnx

≤1．
令h（x）=f′（x）+2a=

lnx-1

(lnx)2

-a+2a=

1

lnx

-

1

(lnx)2

+a=-(

1

lnx

-

1

2

)2+a≤a．
∴a≥

e2

2

．
∴实数a的取值范围是[

e2

2

，+∞)．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、二次函数的单调性，考查了恒成立问题的等价转化方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．