Question

已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱PD⊥平面ABCD，且PD=2，O为底面对角线的交点，E、F分别为棱PB，PC的中点
（1）求证：EO∥平面PDC；
（2）求证：DF⊥平面PBC；
（3）求点C到平面PAB的距离．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算,直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（1）利用三角形中位线的性质，可得OE∥PD，利用线面平行的判定定理，可得EO∥平面PDC；
（2）证明BC⊥DF，DF⊥PC，即可证明DF⊥平面PBC；
（3）由V_P-ABC=V_C-PAB，可求点C到平面PAB的距离．

解答： （1）证明：∵O为底面对角线的交点，
∴O是BD的中点，
∵E为棱PB的中点，
∴OE∥PD，
∵OE?平面PDC，PD?平面PDC，
∴EO∥平面PDC；
（2）证明：∵侧棱PD⊥平面ABCDBC?平面ABCD，
∴PD⊥BC，
∵BC⊥CD，PD∩CD=D，
∴BC⊥平面PDC，
∵DF?平面PDC，
∴BC⊥DF，
∵PD=DC，F为棱PC的中点，
∴DF⊥PC，
∵BC∩PC=C，
∴DF⊥平面PBC；
（3）解：设点C到平面PAB的距离为h，则
Rt△PAB中，PA=2

2

，AB=2，PA⊥AB，∴S_△PAB=

1

2

•2

2

•2=2

2

，
由V_P-ABC=V_C-PAB，可得

1

3

•2

2

h=

1

3

•

1

2

•2•2•2，∴h=

2

．

点评：本题考查直线与平面平行、直线与平面垂直的判定，考查等体积的运用，考查学生分析解决问题的能力，正确运用判定定理是关键．