Question

设函数f（x）=

1+x

．
（Ⅰ）求函数λ=[f（x）+f（-x）]²的值域；
（Ⅱ）设a为实数，记函数h（x）=f（x）+f（-x）+af（x）•f（-x）的最大值为H（a）．
（ⅰ）求H（a）的表达式；
（ⅱ）试求满足H（a）=H（

1

a

）的所有实数a．

Answer 1

考点：函数的零点与方程根的关系,函数的值域

专题：函数的性质及应用

分析：（I）利用根式的意义求出函数λ（x）的定义域，再根据单调性即可得出值域；
（II）利用导数研究函数的单调性极值与最值，通过对a分类讨论即可得出；
（III）由（II）可得H(

1

a

)=

2+ 1 a ，a＞0 2 ，a＜0

．再对a分类讨论即可得出．

解答： 解：（I）λ=[f（x）+f（-x）]²=(

1+x

+

1-x

)2=2+2

1-x2

．
要使λ由意义，必须满足

1+x≥0 1-x≥0

，解得-1≤x≤1．
∴0≤1-x²≤1．
∴2≤λ≤4．
∴函数λ（x）的值域为[2，4]．
（II）函数h（x）=f（x）+f（-x）+af（x）•f（-x）=

1+x

+

1-x

+a

1-x2

，（-1≤x≤1）．
（i）当-1＜x＜1时，h′（x）=

1

2 1+x

-

1

2 1-x

-

ax

1-x2

=

-ax

1-x2

，
①当a＞0时，当0＜x＜1时，h′（x）＜0，函数h（x）单调递减；当-1＜x＜0时，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增．
∴当x=0时，函数h（x）取得最大值，h（0）=2+a．
②当a＜0时，当0＜x＜1时，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增；当-1＜x＜0时，h′（x）＜0，函数h（x）单调递减．
又函数h（x）在x=±1时连续，而h（-1）=h（1）=

2

，此时函数h（x）取得最大值，h（1）=

2

．
③当a=0时，由（I）可得：h（x）的值域为[

2

，2]，可知函数h（x）的最大值为2．
综上可得：函数h（x）的最大值H（a）=

2+a，a＞0 2，a=0 2 ，a＜0

．
（III）由（II）可得H(

1

a

)=

2+ 1 a ，a＞0 2 ，a＜0

．
当a＜0时，H(a)=H(

1

a

)都成立，因此a＜0满足条件．
当a＞0时，由2+a=2+

1

a

，解得a=1．
综上可得：满足H（a）=H（

1

a

）的所有实数a的集合为{a|a＜0}∪{1}．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、根式函数的性质，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．