Question

16．已知函数f（x）=$\sqrt{{x}^{2}+9}$，g（x）=ax-3．
（1）当a=l时，确定函数h（x）=f（x）-g（x）在（0，+∞）上的单调性；
（2）若对任意x∈[0，4]，总存在x₀∈[-2，2]，使得g（x₀）=f（x）成立，求 实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意：当a=l时，确定函数h（x）=f（x）-g（x）=）=$\sqrt{{x}^{2}+9}$-x+3．判断x在（0，+∞）上$\sqrt{{x}^{2}+9}$与x的大小可得单调性．
（2）求解x∈[0，4]上函数f（x）=$\sqrt{{x}^{2}+9}$的值域M，x₀∈[-2，2]上，对a讨论函数g（x）=ax-3的值域N，
根据M⊆N，可得实数a的取值范围．

解答 解：（1）由题意：当a=l时，确定函数h（x）=f（x）-g（x）=）=$\sqrt{{x}^{2}+9}$-x+3．
∵x∈（0，+∞）
则$\sqrt{{x}^{2}+9}-x$=$\sqrt{{x}^{2}+9}-\sqrt{{x}^{2}}$＞0，
∴h（x）在（0，+∞）上是单调增函数．
（2）由题意：x∈[0，4]上函数f（x）=$\sqrt{{x}^{2}+9}$的值域M=[3，5]，
设函数g（x）=ax-3的值域N．
∵x₀∈[-2，2]，g（x）=ax-3．
当a=0时，g（x）=-3，即值域N={-3}，
∵M⊆N，
∴不满足题意．
当a＞0时，函数g（x）在定义域内为增函数，其值域N=[-2a-3，2a-3]，
∵M⊆N，
∴需满足$\left\{\begin{array}{l}{-2a-3≤3}\\{2a-3≥5}\end{array}\right.$，
解得：a≥4．
当a＜0时，函数g（x）在定义域内为减函数，其值域N=[2a-3，-2a-3]，
∵M⊆N，
∴需满足$\left\{\begin{array}{l}{2a-3≤3}\\{-2a-3≥5}\end{array}\right.$
解得：a≤-4．
综上所得：对任意x∈[0，4]，总存在x₀∈[-2，2]，使得g（x₀）=f（x）成立，
实数a的取值范围是（-∞，-4]∪[4，+∞）．

点评 本题考查了函数的单调性的判断和讨论单调性求解值域来解决恒成立问题．属于中档题．